成果简介：

经典力学有Newton力学、Lagrange力学和Hamilton力学三种等价的表示形式。其中，Hamilton形式把位置空间的二阶运动议程组转化为相空间内的一阶正则方程组，即Hamilton议程，它具有对称的形式，时间深化是辛变换的演化，辛几何结构是Hamilton系统的重要特征。1984年，我国科学家冯康院士首次将保持Hamilton系统辛几何结构的思想引和数值分析，创立了辛算法的理论基础。上世纪九十年代，在冯先生“数值算法应尽可能保持原问题本质特征”的思想指导下，辛算法被进一步推广为多辛算法。辛与多辛算法能够分别保持Hamilton系统内在的辛与多辛结构，在有关整体性、结构性及长时间跟踪能力等方面显示出压倒性优势。

该成果主要创新点包括：

在国际上首次将小波方法与辛算法结合，构造出求解Hamilton系统的小波辛算法和小波多辛算法，证明了相关理论结果（包括精度、稳定性、收敛性和对不变量的保持特性等），并对大量非线性偏微分方程，如Schrodinger方程、Maxwell方程、Kdv方程、Camassa-Holm方程、Zzkharov-Kuznetsov方程等，进行了数值模拟。

研究一些重要的一维和二维非线性波动方程的多辛算法，结合分裂方法、谱方法和拟谱方法，构造出一系列高效率、高精度保结构算法，包括Camassa-Holm议程和Kdv方程的多辛拟谱格式、耦合非线性Schrodinger方程的多辛分裂格式、二维Zzkharov-Kuznetsov方程和二维Kadomtsev-Petviashvili方程的多辛拟谱格式，等等。

针对几个特殊模型，如Zakharov-Kuznetsov方程和耦合非线性Schrodinger方程，构造显式或普显式保结构算法，有效降低了代数系统的计算复杂度，提高了数值计算的效率。